Существуют ли люди с одинаковым количеством волос? Если верить принципу Дирихле, то да
Чтобы узнать, существуют ли люди с одинаковым количеством волос, вам не нужно ничего подсчитывать. И статистический анализ тоже использовать не придется. Достаточно знать принцип сортировки, также известный как принцип Дирихле. Рассказываем его суть.
Как работает принцип Дирихле
Если вы хотите разделить n предметов по k ящикам, а предметов больше, чем ящиков (n > k), то в конечном итоге вы положите в один ящик несколько предметов. Это простое утверждение, и, чтобы его доказать, математические знания не нужны. Впервые об этом принципе сортировки заговорил французский ученый Жан Лерешон в книге 1622 года.
Но сам принцип обычно приписывают Питеру Густаву Лежену Дирихле, который жил примерно через 200 лет после Лерешона. Несмотря на простоту, принцип сортировки позволяет доказывать довольно сложные соотношения — например, что из пяти случайно расположенных точек на сферической поверхности по крайней мере четыре находятся в одном полушарии.
Но вернемся к волосам: как узнать, есть ли у двух людей в мире одинаковое количество волос на голове? Для этого сначала нужно выяснить максимальное количество волос, которое у нас может быть. В зависимости от цвета у среднего человека на голове от 90 тыс. до 150 тыс. волос. Однако на нашей планете живет восемь миллиардов людей. Это означает, что обязательно найдутся жители, у которых окажется точно такое же количество волос на голове — по крайней мере, до того момента, пока один из них не расчешется. Затем, после еще нескольких взмахов расческой, скорее всего, появится другая группа людей, у которых будет такое же количество волос, как у только что расчесавшегося человека. Используя такие же аналогии, Лерешон представил принцип сортировки.
Как вычислить минимальное количество людей с одинаковым количеством волос
Чтобы сделать это, нужно рассмотреть два крайних случая: один, в котором количество волос на голове каждого человека точно одинаково (если бы все брились налысо), и другой, в котором волосы людей различаются настолько, насколько это вообще возможно.
Для этого представьте себе миллион комнат, пронумерованных в порядке возрастания. Каждый человек входит в комнату с номером, соответствующим количеству волос на голове. Если все на планете одинаково волосатые, все окажутся в одной комнате. Тогда в одной комнате восемь миллиардов человек, а остальные 999999 комнат пусты.
С другой стороны, люди делят себя таким образом, чтобы как можно меньше людей оказывались в одной комнате. Каково минимальное количество людей, проживающих в одной комнате? Чтобы рассчитать это, вы можете постепенно заполнять комнаты: сначала по одному человеку, затем по два, затем по три и так далее. Если вы разделите восемь миллиардов человек поровну на миллион комнат, в итоге вы получите 8000 человек в каждой комнате.
Как только вы немного перераспределите людей, обязательно найдется комната, вмещающая более 8000 человек. Это означает, что как бы люди ни делились, при любом раскладе в самом полном зале находится не менее 8000 человек. Таким образом, на планете не менее 8000 человек с таким же количеством волос, как у вас.
Принцип классификации показывает, что даже кажущиеся очевидными утверждения имеют большое значение в математике. Впрочем, это не должно удивлять. В конце концов, работа в этой области основана на максимально базовых предположениях. Короче говоря, простые системы могут иметь сложные последствия.
